PEMIKIRAN FILSAFAT TENTANG MATEMATIKA

Bidang pengetahuan sebagai perwujudan dari interaksi filsafat dengan matematika yang sangat menarik perhatian filsuf dan/atau ahli matematik disebut dengan berbagai nama, yakni:

–  philosophy of mathematics (filsafat matematik)

–  foundations of mathematics (landasan matematik)

–  metamathematics (adi-matematik)

–  Mathematical Philosophy (filsafat kematematikaan)

Bidang pengetahuan yang disebut filsafat matematika merupakan hasil Pemikiran filsafati yang sasarannya ialah matematika itu sendiri. Filsafat sebagai rangkaian aktivitas dari budi manusiapada dasarnya adalah pemikiran reflektif (reflective thinking). Pemikiran relatif atau untuk singkatnya refleksi (reflection) dapat dicirikan sabagai jenis pemikiran yang rediri atas mempertimbangkan secara cermat suatu pokok soal dalam pikiran dan memberikannya perhatian yang sungguh-sungguh dan terus-menerus (the kind of thinking that consits in turning a subject over in the mind ang giving it serious and consecutive consideration). Suatu pendapat lain yang mirip merumuskannya sebagai pertimbangan cermat secara penuh perhatian beberapa kali terhadap hal  yang sama (thinking attentively several times over of the same thing). Dalam sebuah kamus psikologi refective thinking dianggap sepadan denag logikal thinking (pemikiran logis), yakni aktivitas budi manusia yang diarahkan sesuai dengan kaida-kaida logika.

Dengan demikian filsafat matematika pada dasarnya adalah pemikiran relatif terhadap matematika. Matematika menjadi suatu pokok soal yang dipertimbangkan secara cermat dan dengan penuh perhatian. Pemikiran filsafati juga bersifat reflektif dalam arti menengok diri sendiri untuk memahami bekerjanya budi itu sendiri. Ciri reflektif yang demikian itu ditekankan oleh filsuf Inggris R.G. Collingwood yang menyatakan ”philosophy is reflektive. The philosophizing mind never simply thinks also about any object, thinks also about its own thought about that object.” (filsafat bersifat relektif tidaklah semata-mata berpikir tentang suatu obyek; sambil berpikir tentang sesuatu obyek,budi itu senantiasa berpikir juga tentang pemikirannya sendiri mengenai obyek itu). Jadi budi manusia yang diarahkan untuk menelaah obyek-obyek tertentu sehingga melahirkan matematika kemudian juga memantul berpikir tentang matematika sehingga menumbuhkan filsafat matematik agar memperoleh pemahaman  apa dan bagaimana sesungguhnya matematika itu.

Di antara ahli-ahli matematika dan para filsuf tidak tampak kesatuan pendapat mengenai apa filsafat matematika itu. Sebagai sekedar contoh dapatlah dikutipkan perumusan-perumusan dari 2 buku matematik dan 22 kamus filsafat yang berikut  :

1). ”A philosophy of mathematics might be described as a viewpoint from  which the various bits and pieces of mathematics can be organized and unifiet by some basic principles.” (suatu filsafat matematik dapatlah dilukiskan sebagai suatu sudut pandang yang dari situ pelbagai bagian dan kepingan   matematik    dapat  disusun dan dipersatukan berdasarkan beberapa asas dasar).

2). ”In particular, a philosophy of mathematics essentially amounts to an  attempted reconstruction in which the chaotic mass of  mathematical knowledge accumulated over the ages is given a certain sense or order.”  (Secara khusus suatu filsafat matematika pada dasarnya sama dengan suatu percobaan penyusunan kembali yang dengannya kumpulan pengetahun matematika yang kacau balau yang terhimpun seama berabat-abat diberi suatu makna atau ketertiban tetentu.)

3) ”The study of the concepts of and justification for the principles used in mathematis.”(Penelaahan tentang konsep dari pembenaran terhadap asas-asas yang dipergunakan dalam matemarik.)

4) “The study of the concepts and systems appearing in matematics, and of the justification of matematical statements.(Penelaahan tentang konsep-konsep dan sistem-sistem yang terdapat dalam matematika, dan mengenai pembenaran terhadap pernyataan-pernyataan matematika.)

Dua pendapat yang pertama dari ahli-ahli matematika menitikberatkan filsafat matematika sebagai usaha menyusun dan menerbitkan bagian-bagian dari matematika yang selama ini terus berkembangbiak. Sedang 2 definisi berikutnya dari ahli filsafat merumuskan filsafat matematika sebagai studi tentang konsep-konsep dalam matematika dan pembenaran terhadap asas atau pernyataan matemati.

Menurut pendapat filsuf Belanda Evert Beth disampingnya matematika sendiri dan filsafat umum harus pula dibedakan adanya 2 bidang pemikiran lainnya,yakni filsafat matematika dalam arti yang lebih luas (philosophy of matematics in a broader sense) dan penelitian mengenai landasan matematik (foundations of matematics).Landasan matematika kadang-kadang dipersamakan pengertiannya dengan filsafat matematika. Foundations of matematics khususnya bersangkutpaut dengan konsep-konsep dan asas-asas fundamental (fundamental concepts and principles) yang dipergunakan dalam matematika. Dengan demikian kedua, definisi philosophy of matematics dari kamus-kamus filsafat tersebut di atas lebih merupakan batasan dari pengertian landasan matematik. Charles Parsons dalam The Encyclopedia of philosohy megaskan :”Foundational research has  always  been concerned with the problem of    justifying mathematical statements and priciples, with understading why certain evident propositions are evident, with providing the justification of accepted principles which seem not quite evident, and with finding and casting off  principles which are unjustified.”(Penelitian landasan senatiasa bersangkutan dengan masalah tentang pembenaran terhadap pernyataan-pernyataan dan asas-asas matematik, dengan pemahaman mengapa proposisi-proposisi tertentu yang jelas sendirinya adalah demikian, degan pemberian pembenaran terhada asas-asas yang telah diterima yang tampaknya tidak sendirinya begitu jelas, dan dengan penemuan dan penaggalan asas-asas yang tak terbenarkan.)

 Dari konsep pokok dan prisip dasar foundations of mathematics meneruskan penelaannya sehingga sampai pada sifat alami (nature) dari matamatik dan bahkan juga tentang metode matematik. Hal ini tegaskan dalam Encyclopaedia Britannica sebagai berikut :

”The study of the foundations of mathematics has dealt with the concepts, and the assumptions about those concepts, with which mathematics starts. Especially since 1900, foundational investigations have come to include also an inquiry into the nature of mathematical theories and the scope of mathematical methods.” (Penelaahan tentang landasan matematika telah bersangkut paut dengan konsep-konsep dan patokan pikiran-patokan pikiran mengenai konsep-konsep itu yang dengannya matematik bermula. Khususnya setelah 1900 penyelidikan-penyelidikan landasan berlangsung hingga mencakup suatu penyelidikan terhadap sifat alami dari teori-teori matematika dan lingkupan dari metode-metode matematika).

Dengan adanya perluasan pokok soal dan permasalahan yang ditelaah itu dapatlah dimengerti bilamana foundations of mathematics seolah-olah identik dengan philosophy of mathematics. Tetapi seperti telah dinyatakan di muka landasan matematika sesungguhnya kalah luas dibandingkan dengan filsafat matematika. Seorang ahli matematika menyatakan bahwa perkataan ’foudations’ bilamana dipakai oleh para ahli matematika mengacu pada studi tentang sifat alami yang mendasar dari matematika (studies of the basic nature of mathematics).

Dalam abad 20 ini studi mengenai sifat alami dari matematik menumbuhkan 3 mazhab landasan matematika yang terkenal dengan nama logisisme,formalisme, dan intuitionisme. Mazhab logisisme dipelopori oleh filsuf Inggris Bertrand Arthur William Russell. Dalam 1903 terbitlah buku beliau The Principles of Mathematics yang berpegang pada pendapat bahwa matematika murni semata-mata terdiri atas deduksi-deduksi dengan prinsip-prinsip logika dari prinsip-prinsip logika. Dengan demikian matematik dan logika merupakan bidang yang sama karena seluruh konsep dan dalil matematik dapat diturunkan dari logika. Dalam sebuah karya tulis lainnya Russell menegaskan hubungan antara matematik dan logika itu sebagai berikut:

^”Foundational research has always been concerned with the problem of justifying mathematical statements and principles, with understanding why certain evident propositions are evident,wuth providing the justification of accepted principles which seem not principles which  are unjustifien.” (penelitian landasan senantiasa bersangkutan dengan masalah tentang pembenaran terhadap pernyataan-pernyataan dan asas-asas matematika, dengan pemahaman mengapa proposisi-proposisi tertentu yang jelas sendirinya adalah demikian, dengan pemberian pembenaran terhadap asas-asas yang telah diterima yang tampaknya tidak sendirinya begitu jelas, dan dengan penemuan dan penanggalan asas-asas yang tak terbenarkan.)

Dari konsep pokok dan prinsip dasar foundations of mathematics meneruskan penelaahannya sehingga sampai pada sifat alami (nature) dari matematik dan bahkan juga tentang metode matematik, Hal ini ditegaskan dalam Encyclopaedia Britannica sebagai berikut :

^”The study of the foundations of mathenatics has dealt with the concepts, and the assumptions about those concepts, with which mathematics atarts. Espencially since 1900, foundational investigations have come to include also an inquiry into the nature of mathematical theories and the scope of mathematical methods.” (Penelaahan tentang landasan matematika telah bersangkut paut dengan konsep-konsep dan patokan pikiran-patokan pikiran mengenai konsep-konsep itu yang dengannya matematika bermula. Khususnya setelah 1900 penyelidikan-penyelidikan landasan berlangsng hingga mencakup suatu penyelidikan terhadap sifat alami dari teori-teori matematika dan lingkupan dari metode-metode matematika.)

Dengan adanya perluasan pokok soal dan permasalahan yang ditelaah itu dapatlah dimengerti bilamana foundations of mathematics seolah-olah identik dengan philosophy of mathematics. Tetapi seperti telah dinyatakan dimuka landasan matematika sesunggunya kalah luas dibandingkan dengan filsafat matematika. Seorang ahli matematika menyatakan bahwa perkataan ”foundations” bilamana dipakai oleh para ahli matematika mengacu pada studi tentang sifat alami yang mendasar dari matematika (studies of the basic nature of mathematics).

Dalam abad 20 ini studi mengenai sifat alami dari matematik menumbuhkan 3 mazhab landasan matematika yang terkenal dengan nama logisisme, formalisme,dan intuitonisme. Mazhab logisisme dipelopori oleh filsuf Inggris Bertrand  Arthur William Russell. Dalam 1930 terbitlah buku beliau The Principles of mathematics yang berpegang pada pendapat bahwa matematika murni semata-mata terdiri atas deduksi-deduksi dengan prinsip-prinsip logika dari prinsip-prinsip logika. Dengan demikian matematika dan logika merupakan bidang yang sama karena seluruh konsep dan dalil matematika dapat diturunkan dari logika. Dalam sebuah karya tulis lainnya Russell menegaskan hubungan antara matematika dan logika itu sebagai berikut :

”But both have developed in moden times : logic has become more mathematical and mathematics has become more logical. The consequence is that it has now become wholly impossible to draw a line between the two; in fact, the two are one. They differ as boy and man : logic is the youth of mathematics and mathematics is the manhood of logic.” (Tetapi kedua-duanya berkembang dalam zaman modern: logika telah menjadi lebih bersifat matematis dan matematika menjadi lebih logis. Akibaynya ialah bahwa kini menjadi sepenuhnya tak mungkin untuk menarik suatu garis di antara keduanya ; sesungguhnya dua hal itu merupakan satu. Mereka berbeda seperti anak dan orang dewasa : logika merupakan masa muda dari matematik dan matematik merupakan masa dewasa dari logika.)

Mazhab landasan matematika formalime dipelopori oleh ahli matematika besar dari Jerman David Hilbert. Menurut Mazhab ini sifat alami dari matematika ialah sebagai sifat lambing yang formal. Matematika bersangkut paut dengan sifat-sifat structural dari symbol-simboldan poses pengolahan terhadap lambing-lambang itu. Simbol-simbol dianggap mewakili pelbagai sasran yang menjadi obyek matematika. Bilangan-bilangan misalnya dipandang sebagai sifat-sifat structural yang paling sederhanan dari benda-benda. Dengan simbolisme abstrak yang dilepaskan dari sesuatu arti tertentu dan hanya menunjukkan bentuknya saja Mazhab formalisme berusaha menyelidiki struktur dari pelbagai sistem. Berdasarkan landasan pemikiran itu seorang pendukung Mazhab tersebut merumuskan matematik sebagai ilmu tentang sistem-sistem formal (Mathematics is the science of formal systems.)

Berlawanan dengan Mazhab formalisme berkembanglah mazhab landasan matematika intuitionisme yang dipelopori oleh ahli matematik Belanda Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Beliau berpendirian bahwa matematik adalah sama dengan bagian yang eksak dari memikiran manusia.

Ketepatan dalil-dalil matematika terletak dalam akal manusia ( human intellect) dan tidak pada symbol-simbol di atas kertas sebagaimana di yakini oleh mazhab formalisme. Dalam pemikiran mazhab intuitionisme matematik berlandaskan suatu ilham dasar ( basic intuitio)mengenai kemungkinan untuk membangun sebuah seri bilangan yang tak terbatas. Ilham ini pada hekatnya merupakan suatu aktivita berpirir yang tak tergantung pada pengalaman, bebas dari bahasa dan simbolisme, sertabersifat obyektif.

Istilah ’foundations’ dalam bidang keilmuan mempunyai makna-makna berlainan. Oleh karena itu untuk kejelasan maknanya kadang-kadang dibubuhi cirinya yang dimaksud. Dalam kaitannya dengan matematika orang menegaskannya dengan istilah ’logical foundations of mathematics’(landasan logismatematik).Istilah ’logical foundations’dapat juga di persamakan dengan ’philosophical foundations’ (landasan filsafati) seperti misalnya dilakukan oleh filsuf Rudolf Carnap (1891-1970). Dengan landasan logis atau filsafati itu para ahli sesuatu bidang ilmu disadarkan terhadap kemungkinan keterbatasan dan kesalahan dari patokanpikiran-patokanpikiran yang dipergunakannya sebagai pangkal dalam ilmunya.

Selain landasan matematika yang kadang-kadang secara kurang tepat dipersamakan dengan filsafat matematika, ada lagi suatu bidang pengetahuan yang juga dicampuradukan dengan philosophy of mathematics, yakni metamathematics (adi-matematik).Misalnya Arthur Pap yang menegaskan perbedaan antara mathematics dan meta-mathematics menyatakan bahwa meta-mathematics menyatakan bahwa meta-mathematics disebut juga ”philosophy of mathematics”.²⁸

Prkataan Yunani ’meta’ berarti diluar, diatas, dibalik atau sesudah. Dalam hubungannya dengan sesuatu cabang ilmu atau bidang pengetahuan awalan meta umumnya diartikan sebagai suatu teori, suatu bahasa atau uraian yang justru membahas atau memaparkan cabang ilmu yang bersangkutan. Dengan demikian secara harafia metamathematics memang dapat berarti bidang pengetahuan yang berada diluar atau diatas matematika yang menelaah matematika itu sendiri separti halnya filsafat matematika. Tetapi menurut asalmulanya dan pertumbuhan selanjutnya adi-matematika dimaksudkan sebagai  sebuah teori pembuktian untuk menetapkan ada atau tidaknya konsistensi dalam matematika dan menjawab masalah-masalah lainnya seperti problem keputusan dan kelengkapan dalam suatu sistim formal.Sebagai pangkal perkenalan dapatlah kiranya dikutipkan 4 buah perumusan matematics yang berikut:”

1)    “the formalization of mathematical proof by means of a logistic system makes possible an objective theory of proofs and provability, in which proofs are treated as concrete manipulations of formulas (and no use is made of meanings of formulas). This is Hilbert’s proof theory, or matematics.”²⁹ (formalisasi dari pembuktian matematika dengan perantaraan suatu sistim logika memungkinkan adanya sebuah teori obyektif tentang pembuktian dan hal dapat dibuktikan yang dalam teori itu pembuktian-pembuktian diperlakukan sebagai pengolahan-pengolahan nyata terhadap rumus-rumus  dan tidak dipersoalkan arti dari rumus-rumus itu. Ini merupakan teori pembuktian dari Hilbert atau adi- matematik.)

2)    “Metamathematics is a branch of mathematical logic which studies formal theories and solves problems pertaining to such theories. (Adi-matematika adalah suatu cabang dari logika matematika yang menelaah teori-teori formal dan memecahkan persoalan-persoalan yang meyangkut teori-teori demikian itu.)

3) Patrik Suppes merumuskan metamathematics sebagai cabang matematika yang menyelidiki sruktur dari sistim-sistim bahasa atau teori-teori yang diformalkan dan hubungannya dengan entitas-entitas matematik lainnya (That  branch of mathematis which investigates the structure of  formalized languages or theories and their relationship to other  mathematical.)

4).  “Hilbert and his folowers used  ideas of this kind to devise a formalitazed theory of proof, including within it a system of  symbolic logic. The aim of the theori was to prove the consistency of logical structure of ordinary mathematic. In as much as the theory was out mathematics, it was termed metamathematics. (Hilbert dan para pengikutnya memakai  ide ide semacam ini untuk menyusun sebuah teori pembuktian yang di formalkan, termasuk di didalamnya sebuah sistem logika simbolik, tujuan dari teori itu ialah membuktikan konsistensi dari struktur logis matematika biasa . oleh karena teori itu berada di,luar matematika, adi-matematika.)

Dari kutipan-kutipan diatas tenyata menurut intinya ada kesatuan pendapat mengenai apa metamathematics itu. Tetapi pelbagai perumusan itu juga mununjukan suatu perbedaan menyolok, yakni status adi matematik apakah suatu teori diluar Mathematika  atau suatu cabang/ sistim logika ataukah suatu di luar matematika itu sendiri. Ahli matematika perancis jean dieudonne menyatakan bahwa adi matematika terapan, karena perbincangan-perbincangan matematika di terpkan pada obyek berupa kalimat kalimat dari teori di formalkan dan pengaturannya menjadi pembuktian-pembuktian.

Metamathematcs dipelopori dan diperkembangkan oleh Davit Hilbert yang juga menjadi pelopor dari mazhab landasan matamatika formalisme. Beliau menyusun program untuk memformalkan cabang-cabang matematika biasa. Formalisasi yang ketat itu meliputi penentuan simbol-simbol yang dengan abstraksi sepenuhnya lalu terlepas dari sesuatu arti tertentu. Rangkaian lambang-lambang yang tersusun baik kemudian menjadi formula-formula atau rumus-rumus untuk memaparkan perbincangan-perbincangan berdasarkan bentuknya (from) saja. Perbincangan dalam bahasa biasa mempergunakan kalimat-kalimat yang dipahami berdasarkan artinya. Bagi sesuatu cabang matematika formalisasiyang demikian itu menghasilkan suatu sistem formal (formal system). Sisrem formal ini kadang-kadang disebut pula teori formal atau matematik formal. Selanjutnya dalam program Hilbert sistem formal sbagai suatu keseluruhan dijadikan abjek dari suatu studi matematik yang dinamakan adi-matematik atau teri pembuktian. Stephen Cole Kleene dalam buku pengantarnya menegaskan lingkupan adi-matematika itu sebagai berikut :

”Metamathematics includes the description or definition of formal system as well as the investigation of properties of formal system. In dealing with a particular formal system, we may call the system the object theory, and the metamathematics relating to it its metatheory.” (Adi-matematika meliputi pemaparan atau definisi dari sistem-sistem formal maupun penyelidikan terhadap sifat-sifat dari sistem-sistem formal. Dalam pembahasan terhadap suatu sistem formal khusus, kita dapat menamakan sistem itu teori sasaran dan adi-matematika yang bertalian dengannya adi-teorinya.)

Demikianlah dari uraian di muka ternyatalah bahwa metamathematics juga tidak identik dengan philosophy of mathematics. Seperti halnya foundations of mathematics, adi-matematik juga lebih terbatas ruang lingkupnya dari pada filsafat matematika, yakni menelaah sifat-sifat dari sesuatu sistem formal khususnya matematika untuk membuktikan konsistensi dan kelengkapan dari sesuatu cabang matematika.

Dalam kepustakaan masih ada satu lagi bidang pemikiran filsafati yang bersangkutpaut denag matematika, yaitu mathematical philosophy yang sabaiknya diterjemahkan kedalam Bahasa Indonesia menjadi filsafat kematematikan untuk di bedahkan dengan filsafat matematika (philosophy of mathematics). Tampaknya memang cukup sulit untuk membedahkan mathematical philosophy dengan philosophy of mathematics, karena kedua bidang itu sama-sama merupaka pemikiran filsafati. Tetapi suatu pembedaan dapatlah kiranya dilakukan dengan menafsirkan mathematical philosophy sebagai filsafat berdasarkan matematika, sedangkan tafsiran philosophy of mathematics ialah filsafat mengenai matematika. Dengan tafsiran yang demikian itu tampaklah kini perbedaan yang lebih jelas antara kedua bidang pemikiran itu. Filsafat kematematikan sebagai suatu filsafat berdasarkan matematika memakai matematika sebagai pangkal tolak dan sumber ide untuk melakukan pemikiran filsafati. Suatu contoh dari mathematical philosophy misalnya ialah Pythagoreanisme yang dipaparkan dalam bab I dimuka. Aliran filsafat ini dengan berpangkalan pada bilangan mengemukakan pemikiran filsafati bahwa semua fenomena alam merupakan pengungkapan inderawi dari perbandingan-perbandingan matematis. Dipihak lain filsafat matematika sebagaimana dinyatakan pada permulaan bab ini merupakan pemikiran filsafati tentang matematika untuk memperoleh pemahaman mengenai segenap segi apa dan bagaimana dari matematik itu.

Usaha untuk memahami segenap aspek dari matematika telah menumbuhkan bidang pengetahuan filsafat matematik yang sangat luas pada dewasa ini. Filsafat matematika merupakan salah satu cabang dari filsafat ilmu-seumumnya (philosophy of science-in-general). Dengan demikian persoalan-persoalan dalam filsafat ilmu-seumumnya juga mempunyai kaitan dengan filsafat matematika.